Un desconocedor del hecho matemático se imagina a los matemáticos haciendo miles de cuentas hasta que topan, por casualidad, con el 355/113. Lejos es el caso; que tiene que ver con las diferentes formas de presentar un número real y, en particular, un número racional.
La representación de los números naturales en un sistema de numeración posicional, como el que disfrutamos, es sencilla. No es el caso de los racionales, más concretamente de los fraccionarios. El caso más sencillo, la fracción 1/3=0.333333333333333... Siempre es preferible lo primero (1/3) a lo segundo (0.3333... que no es más que 3/10 o 33/100 o 333/1000, dependiendo de los dígitos que retengamos). Por no hablar de las fracciones reducibles o irreducibles, o la imposibilidad de imaginar una partición 113 de la unidad.
Una de las formas de representar los números reales es mediante fracciones continuas:
que para mayor simplicidad de suelen escribir como [a0,a1,a2,a3,...]. Nótese que a0 es la parte entera del número. El resto de los a se relaciona con la parte fraccionaria (no entera). A esta parte fraccionaria se le hace la inversa y se obtiene un número mayor que uno: su parte entera es a1 y su parte fraccionaria se relaciona con el resto de los a. A esta parte fraccionaria se le hace la inversa y se obtiene un número mayor que uno: su parte entera es a2...
Las fracciones continuas son interminables para números irracionales como π y finitas para números racionales como 355/113. La fracción continua de π empieza así [3,7,15,1,292,1,1,2...]. E igual que uno no puede representar todos los dígitos de π, tampoco puede representar todos los ai de la serie. Y de la misma forma que podemos truncar π hasta un cierto decimal —por ejemplo aproximar π por 3.14— podemos truncar la fracción continua infinita.
El primer truncamiento es muy conocido π=3 y da un probe resultado: un dígito correcto. La segunda truncación es algo mejor 3+1/7=22/7=3.1428 (tres dígitos correctos). La siguiente (3+1/(7+1/15)) da 333/106=3.141509 (cinco dígitos). Y la cuarta es precisamente 355/113=3.14159292 que da siete dígitos. La quinta 103993/33102 es; da diez dígitos.
La importancia y singularidad de 355/133 radica en dos hechos concurrentes. Primero el detalle de la serie [3,7,15,1,292...] ohhhhhh 292 es un número muy grande y 1/292 un número muy pequeñito. Suficientemente grande (y pequeño) como para truncar la serie ahí y quedarse con [3,7,15,1]=355/113. Parte de la utilidad de las fracciones continuas está en encontrar una con un ai muy grande ya que da lugar a casi enteros: por ejemplo 113×π es un casi entero que vale 354.9999698. La otra gran casi construcción de π debida a Ramanujan se basa en una propiedad de la potencia cuarta de π cuya fracción continua empieza así [97,2,2,3,1,¡¡¡16539!!!...] y cuyo quinto truncamiento da 97+9/22=92+192/22. Este truncamiento difiere del valor real de π4 en una parte en mil millones.
El segundo detalle, relacionado con el primero, es su economía: se obtiene un resultado válido de siete dígitos 3.141592 con sólo seis dígitos 3,5,5,1,1,3 y la operación de dividir. Claro que esto no vale para 103993/33102: diez dígitos correctos, pero a costa de ¡¡once dígitos!! Como ejemplo contrario, de nuevo π4 y 97+9/22 que con cinco dígitos se reproducen ocho dígitos del valor verdadero.
Pero si traigo aquí las fracciones continuas es también porque son acreedoras de una de las más increíbles propiedades matemáticas. Entenderán que cada número real es acreedor de una fracción continua diferente. Algunas más recurrentes que otras: por ejemplo el número áureo es la fracción continua [1,1,1,1,1...] pero el número e=[2,1,2,1,1,4,1,1...]. O, por ejemplo, [0,1,2,3,4,5...] es 0.697704. Y cada número y cada fracción contínua es de su padre y de su madre. Pero sucede que Aleksander Khinchin (que debe ser tan Khinchin como Mijail es Mikhail) se puso a jugar con estas fracciones y a construir el siguiente producto (que llamaré producto de Khinchin):
(nótese que a0 —que representaría la parte entera del número— no aparece)
El producto de Khinchin de una fracción continua es siempre un número real por mucho que uno ponga un número infinito de términos en el producto (es decir que Kn permanece finito). Pero para su asombro y el asombro general, Khinchin descubrió que para casi todos los números reales esa Kn (n=∞) da el mismo número: la llamada constante de Khinchin J=2.685452001....
El resultado contiene dos aspectos llamativos más allá de su sorprendente conclusión. El primero es ese casi todos que aparenta una imprecisión que, al novato, le parecerá impropia de la cosa matemática. Segundo, el hecho autológico: la constante de Khinchin puede representarse por una fracción continua: [2,1,2,5,1,1,2...]. Y, no podía ser menos, el producto de Khinchin de los infinitos términos de esa fracción continua parece que da como resultado la constante de Khinchin.
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