El primer número de Carmichael fue descubierto por Robert Carmichael en... no hace mucho ya que el profesor Carmichael nació en el siglo decimonoveno y murió cuando ya muchos habíamos nacido. Dicho número es 561=3×11×27. El siguiente es 1105=5×13×17 y el siguiente el 1729=7×13×19. Este último número es acreedor de una de las más famosas anécdotas matemáticas. El referido involucra al profesor G. H. Hardy (de la Universidad de Cambridge) y a Srinivasa Ramanujan, el genio indio que se forjó a sí mismo en la universidad de la calle de Kumbakonam, construyendo él sólo un prodigioso bloc de notas hasta que en 1914 ingresó en el circuito de la mano del profesor G. H. Hardy. Precisamente, la mayor contribución de G. H. Hardy a la matemática, según su biógrafo G. H. Hardy, es haber descubierto y tutelado al genio indio después de leer los manuscritos que éste enviaba desde Kumbakonam a afamadas universidades. Tras unos exitosos años en la isla, Srinivasa, de frágil salud, deteriorada por su vida en Tamil Nadu y empeorada por el clima inglés y, no en menor medida, por la comida del lugar, guardaba reposo es un hospital de Putney cuando recibió la visita del profesor G. H. Hardy quien relata que le dijo: «Srinivasa, el número del taxi que me ha traído aquí era 1729, un número aparentemente bastante estúpido». Impertérrito y a bocajarro, Ramanujan respondió: «Todo lo contrario Prof. Hardy, es el menor entero que puede expresarse de dos formas distintas como suma de dos cubos» (1729=123+13=93+103). Esta propiedad húbola supido tiempo atrás Bernard Frenicle de Bessy, coetáneo de Fermat (incidentalmente, de Bessy fue la segunda persona que supo del pequeño teorema de Fermat), de Mersenne y de Descartes; todo a la vez.
De la anécdota nacieron los números taxicabs T(n), definidos como el menor entero que puede expresarse como suma de dos cubos de n formas diferentes. Desde entonces y, ante todo, ahora: los computadores pueden buscarlos con comodidad. Por ejemplo T(6)=24153319581254312065344 es el menor entero que puede expresarse como suma de dos cubos de seis formas diferentes. Y se sabe que existen números que se pueden expresar como suma de dos cubos de siete formas diferentes, pero no se sabe cuál es el menor con esa propiedad. No hace falta añadir que los números taxicab no sirven para nada... salvo si eres Richard Feyman y hay una apuesta de por medio con un apuesto japonés.
La anécdota de Hardy y Ramanujan suele contarse como una prueba del genio del matemático indio. Pero el referido continúa: Hardy le preguntó a Ramanujan si conocía algún número que tuviera la misma propiedad para la cuarta potencia (que fuera expresable como suma de dos potencias cuartas de dos formas diferentes). El indio pensó un rato y contestó que no; pero que si lo hubiera, habría de ser un número muy grande. Lo cual sería una prueba de la infinita humanidad del genio indio. Llevaba, por cierto, razón ya que el menor número expresable de dos formas diferentes como suma de dos potencias cuartas es 635318657(=1334+1344=1584+594). Solo que Euler lo supo un siglo antes y, además, supo que había infinitos números de ese tipo.
Lo curioso es que el bloc de notas de Ramanujan contiene múltiples trabajos sobre las ecuaciones diofánticas de Euler que implícitamente contienen la propiedad del número 1729 y la de 635318657, pero sin ninguna referencia explícita a ellos. Los libros de notas de Ramanujan, una joya manuscrita: Ramanujan probablemente había recordado algo que le llamó la atención algunos años atrás. Y todo con la simple mención del número 1729. Nada extraño.
Extraña sí, la anécdota en sí: que Hardy, uno de los matemáticos del momento, ma non troppo, no supiera que 1729, lejos de ser un número aburrido, es un número de Carmichael.
Sobre los números naturales aburridos circula el dicho de que no existen. Y la prueba por reducción al absurdo: si existiera un conjunto de números naturales aburridos habría un menor elemento. Dicho número dejaría de ser aburrido ya que tiene la característica de ser el menor número aburrido. Pero me doy cuenta de que les aburro y termino aquí, bruscamente, la demostración.
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