Un día, qtyop dijo Pi. Hoy yo les digo Fi. En los “Elementos” de Euclides, se dice que dos segmentos de recta de longitudes a y b están en relación armónica si:
Tratándose de una ecuación cuadrática, el sistema tiene evidentemente dos raíces posibles, sea a en función de b o a la inversa. Dichas raíces –tomando b en función de a- son:
De las dos raíces, una, la que es suma de los dos términos del numerador, es un valor positivo y, por tanto, euclidianamente representable como una dimensión lineal. La otra, la que es sustracción de ambos términos, no es representable en las mismas condiciones que la anterior, por ser de valor negativo. En realidad, la que nos interesa hoy y que suele ser la de referencia casi universal es la de valor positivo, la primera que he citado. Expresándolo de modo distinto al que he dicho antes, quedándonos sólo con la raíz positiva, obtenemos:
que es el número conocido como Φ y representado por su letra griega. Efectivamente, la relación armónica entre segmentos es tal que el mayor es Φ veces el menor. Esta relación es la que se conoce como sección áurea o numero de oro, de la que está trufada la historia del arte y la de las matemáticas, aparte de haber sido el soporte de las mayores estupideces esotéricas de la historia. La más reciente, la cagarruta “El código Da Vinci”, donde se estupra el número de oro a lo grande, con todo desparpajo y a la vista del público todo. A pesar de tales obscenidades, el número Φ es una creación finísima e intrigante, llena de delicadeza y potencia.
Copiando descaradamente a qtyop, les diré que así como Pi es número irracional trascendente –no se puede siquiera representar geométricamente con precisión absoluta-, Φ es menos retorcido y es sólo irracional, pero no trascendente y, por tanto, representable geométricamente con toda precisión. La construcción es muy sencilla. Si tomamos un rectángulo de lados a y 2a respectivamente, y prolongamos su diagonal una longitud a, la mitad de la suma de la diagonal más el segmento de longitud a nos da exactamente la dimensión Φ·a.
Copiando descaradamente a qtyop, les diré que así como Pi es número irracional trascendente –no se puede siquiera representar geométricamente con precisión absoluta-, Φ es menos retorcido y es sólo irracional, pero no trascendente y, por tanto, representable geométricamente con toda precisión. La construcción es muy sencilla. Si tomamos un rectángulo de lados a y 2a respectivamente, y prolongamos su diagonal una longitud a, la mitad de la suma de la diagonal más el segmento de longitud a nos da exactamente la dimensión Φ·a.
De esta manera se puede construir el rectángulo de proporción áurea, que es un patrón compositivo muy extendido en la historia del arte y hasta de la música. Pero no me voy a ocupar de tales asuntos, sino sólo de sus propiedades matemáticas, que tienen algo de mágico e incomprensible, y mucho de gran potencia práctica, lo que explica su mucho uso. Veremos que todo lo que se ordena en términos de Φ es muy fácilmente manejable. Empezando por lo más sencillo, si tomamos un rectángulo de proporción áurea, su área A será:
Es decir, el área del cuadrado por F. En realidad, esto no nos dice nada, porque esta última relación se cumple para cualquier número. Si ahora tomamos un volumen en que la base sea la anterior y la altura también a F, es evidente que dicho volumen vale:
Relación que vale para cualquier número también. Pero, en realidad, planteo lo anterior porque no es igual exactamente con cualquier número. Ahora nos es muy sencillo calcular potencias de cualquier valor, pero esto sólo sucede desde hace no más de veinte años. Antes no era así, sino que calcular potencias de números era muy costoso y, desde luego, muy poca gente sabía hacer tal cosa. Veamos que las potencias de Φ son de una sencillez pasmosa, que en realidad no es necesario calcular las potencias expresamente. Empecemos por la primera, el cuadrado, en realidad la segunda:
Por tanto, basta con saber sumar para calcular la segunda potencia de Φ. Pero conocido esto, las demás potencias se simplifican enormemente también, quedando como meras sumas:
Por tanto, todas las potencias de Φ se pueden expresar como sumas de términos independientes y múltiplos del propio número. Más aún, los términos independientes y los coeficientes multiplicadores de Φ siguen dos series de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,…), desfasado en un orden el término independiente respecto del coeficiente multiplicador. Esta serie es la que he notado como F(n), la serie de Φbonacci. Ésta se define como:
Por tanto, ordenadas las potencias de Φ, siquiera hace falta operar gran cosa. Como se comprueba en el listado anterior de potencias, basta con ir sumando en columnas los dos términos –el independiente y el coeficiente- que anteceden en potencia y obtenemos la lista completa de potencias, donde sólo necesitamos sumar y multiplicar, obviando la necesidad expresa de calcular potencias.
Pero no acaban ahí las propiedades. Precisamente por responder sus potencias a sumas de series de Fibonacci, la relación entre potencias sucesivas se rige por una razón constante, que es evidentemente Φ. Pero veamos:
Pero no acaban ahí las propiedades. Precisamente por responder sus potencias a sumas de series de Fibonacci, la relación entre potencias sucesivas se rige por una razón constante, que es evidentemente Φ. Pero veamos:
O sea, que, por si fuera poco todo lo anterior, además:
¿No es hermoso? A mí me lo parece, y mucho. Y hay más, mucho más. Si alguien tiene interés en la cosa, hay un libro muy bonito, aparentemente esotérico, en realidad riguroso, escrito por un diplomático rumano de los años veinte del siglo XX, Matila Ghyka, que se llama “El número de oro”, donde encontrarán explicada toda la maravilla que se genera a partir de este número. Eso sí, si leen otras cosas, cuidado, que alrededor del número de oro se ha escrito la más variopinta y obscena literatura. Y digo literatura con la connotación de lo que se entiende por mera palabrería.
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(*) No sé escribir ecuaciones aquí, y las he insertado como imágenes, que se ven unas mejor y otras peor. Pido excusas. Para otra vez, me quitaré los guantes de boxeo.
(Escrito por Dragut)
Etiquetas: Dragut
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Excelente. Una precisión: hace veinte años es poco. Make that twice. Tempus fugit.