Recientemente se escribió aquí sobre la clave RSA, los números primos y, en especial, los números primos de Mersenne y el pequeño teorema de Fermat.

Mersenne Marin fue francés coetáneo de Fermat y de Descartes, teólogo, estudioso del hebreo y quizá de la cábala, músico teórico, armónico perfeccionista (valga la redundancia), filósofo y, tal vez, matemático. Es poco probable que Mersenne se sintiera fascinado por los números primos cuando gastaba parte de su vida en entender de la armonía y la perfección divina pero la primalidad entró por un camino torcido.

Hay que mirar varios cientos de años atrás. La mística matemática griega jugaba con los números como si fuera la verdad de revelada por dios. Entre sus juegos místicos aparecieron los llamados números perfectos: aquellos cuyos divisores suman exactamente el proprio numero. Es una extraña y aparentemente inútil propiedad que posee, paradigma, el número 6, cuyo divisores son 1, 2 y 3 que suman, precisamente, 6. Una propiedad que no tiene el 12, cuyos divisores 1, 2, 3, 4, 6 suman 16 (un número abundante) ni 7 que no tiene más divisor que 1 y es primo y defectivo.

Euclides comprobó y teoremizó complacido que cuando se van sumando números en proporción doble y se topa con un resultado que es primo, basta con multiplicar por el último sumando para obtener un número perfecto. Por ejemplo 1 y 2 están en razón doble y suman 3, que es primo. Y tres por dos (el último sumando) da seis; que es perfecto.

A ese 3 se le suma 4 (el doble de 2) y tenemos siete (primo). Y siete por el último número sumado (cuatro) da 28... que es perfecto (sus divisores son 1, 2, 4, 7, 14 y suman 28). Si a 7 le sumamos ahora 8 (el doble de 4) obtenemos 15=5×3, que no es primo. Pero si a este 15 le añadimos 16 tenemos 31, que sí es primo. Y 31 por 16 da 496, que también resulta ser perfecto. A 31 le sumamos 32 y tenemos 63=3²×7, no primo. Y si a 63 se le añade 64 se obtiene 127 que es primo y que multiplicado por 64 da el cuarto y último número perfecto conocido en la época clásica 8128.

Cada número perfecto se asocia entonces a un número primo que es el resultado de la suma de proporciones de dobles (3, 7, 31 y 127). Y resulta que estos son todos de la forma M_p=2^p-1 con p= 2, 3, 5, 7... donde p da la casualidad que también primo.

Así que la gente se empezó a interesar por los números M_p con p primo pero había dos problemas. Primero que esos números crecen muy rápidamente y, segundo, que la única forma de comprobar si M_p era primo necesitaba bien de una buena conjetura (¡nada como una buena conjetura!) o bien mediante un tedioso cálculo a mano... sin calculadora ni, tal vez, numeración posicional. Hay que señalar que para que M_p sea primo p tiene que ser primo; pero que p sea primo no implica necesariamente que M_p sea también primo. Por ejemplo M₁₁=2047=23×89. Lo que implica que hay que comprobar, caso por caso, para cada p primo.

Así, la quinta sucesión de proporciones dobles que terminaba en número primo se encontró en mitad del cuatrocento quizá por Johan Mueller Regiojamontano de Koeningsberg, M₁₃=8191 (el primo) y 33550336 (el perfecto). Después llegarían en el Renacimiento M₁₇ y M₁₉. Y dos siglos después Euler demostró la primalidad de M₃₁=2147483647 que daba con el número perfecto 2305843008139952128.

Entre medio vivió Mersenne, nuestro místico músico armónico, quien buscaba la perfección. No hay que olvidar místicamente que 6 es el primer número perfecto y, también, el número de días que el Señor tardó en crear el Mundo. Y a más a más 28, el segundo número perfecto es (groseramente) el número de días que tarda la Luna en revolucionar alrededor de la Tierra... así que había tema y sugestión por estudiar.

Mersenne es el padre putativo de los números M_p (conocidos como números de Mersenne) ya que se dedicó a compilarlos en cuadros y a conjeturar cuáles eran y cuáles no eran primos, para así obtener números perfectos. Mersenne contó con la colaboración epistolar de otros dos grandes personajes: Fermat y Descartes. La contribución de Fermat se sustanció en el conocido, ya mencionado, y aplicadísimo pequeño teorema de Fermat. Deducido y concebido para identificar primos de Mersenne y, de ellos, números perfectos; hoy se usa en la transmisión de información segura por internet ya que es un método rápido para identificar números que son primos casi con toda probabilidad, a partir del cual se puedan general claves RSA. El teorema es lo que hoy se conoce como un test de primalidad y para Fermat y Mersenne simplificaba la identificación de números M_p que no son primos. Así Fermat demostró que M₂₃=47×178481, y contrariamente a lo conjeturado hasta entonces, compuesto.

Con la ayuda de este pequeño teorema Mersenne soltó, a bocajarro (sin pruebas... lo que se llama conjeturar) y pasó a la posteridad por ello, que p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 daban lugar a M_p primos y, por tanto, a números perfectos asociados. Un siglo después Euler demostró que estaba en lo cierto respecto de 31 (número reseñado con anterioridad). Pero estuvo equivocado con p=67,257 (no dan lugar a números primos) y con p=61,89,107 (que olvidó listarlos y que dan lugar a números primos M_p y sus correspondientes perfectos asociados). Hoy cualquiera puede buscar y ayudar a encontrar primos de Mersenne inmensamente grandes; es muy útil también para comprobar la salud de su ordenador.

Como ocurre con tantas cosas de la ciencia matemática que un número sea perfecto o no tiene poca importancia. Sin embargo, buscar generalizaciones sobre las propiedades de los números perfectos ocasiona conjeturas falsas y teoremas provechosos. Entre las primeras que los números perfectos alternan su dígito final en 6,8,6,8... El quinto rompió esta idea. Sin embargo es fácil (je je) comprobar que los números perfectos pares terminan en 6 u 8. Y más precisamente que si acaba en 8 el rango de decenas es 2 (acaba en 28) y si acaba en 6 y existe el rango de decenas, entonces este es impar. Además, cuando se escriben en una base que sea potencia perfecta de dos (por ejemplo la binaria, la octal o la hexadecimal) los números perfectos tiene una estructura muy recurrente. Por ejemplo, en base binaria el número perfecto asociado a M_p consiste en p unos seguidos de p-1 ceros. Por ejemplo 6=110₂ o 28=11100₂. El propio M_p consiste, en base binaria, en la repetición de p unos: M₇=127=1111111₂.

Entre las curiosidades está también que los números perfectos son siempre la suma de los números enteros menores o iguales que el primo de Mersenne que lo genera. Así 6=1+2+3; 28=1+2+3+4+5+6+7; 496=1+2+3...+30+31; 8128=1+2+3+...+126+127; etcétera.

Y entre los teoremas útiles relacionados con los números perfectos destaca el ya reseñado pequeño teorema de Fermat.

La última gran idea digna de mencionar se debe a Euler. El gran leonardo demostró que los únicos números perfectos pares se obtienen por el algoritmo de Euclides. Es decir, Euclides dio con el único método para obtener números perfectos pares. A partir de ahí, todo número perfecto par se asocia con un primo de Mersenne. Buscar números perfectos se reduce pues a buscar primos de Mersenne. Esto y la secularización de la sociedad marcó el arrinconamiento de los números perfectos, que son ya perfectamente ignotos.



El final de la historia de los números perfectos exige diferenciar entre los números perfectos pares y los números perfectos impares. Nunca nadie ha encontrado un número perfecto impar. El método de Euclides no vale ya que sólo puede dar números pares. Sin embargo desde los tiempos de Euclides se han buscado con afán y sin éxito. De estos extraños números se sabe poca cosa; por ejemplo, que de existir tendrían que ser muy muy grandes (300 dígitos por lo menos) o que sería casi milagroso encontrar uno. Pero mucho peor aún que todo eso: nadie ha podido demostrar que existan ni, tampoco, que no existan. Estamos, sin el menor género de dudas, ante el problema matemático inconcluso más antiguo. Veintitrés siglos, legiones de genios, sin una respuesta.

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