Por ejemplo, la proposición "los números pequeños impares son todos primos". Ciertísima siempre que uno se limite a considerar los ocho primeros números. Porque al noveno topa con una contradicción.
No siempre es tan sencillo. Veamos la siguiente tabla:
| i | ni=i17+9 | mcd(ni,ni-1) |
| 1 | 10 | - |
| 2 | 131081 | 1 |
| 3 | 129140172 | 1 |
| 4 | 17179869193 | 1 |
| 5 | 762939453134 | 1 |
| 6 | 16926659444745 | 1 |
| 7 | 232630513987216 | 1 |
| 8 | 2251799813685257 | 1 |
La tercera columna lista el máximo común divisor de un número de la segunda columna y su anterior. Podría seguir añadiendo números a la lista: 9, 10, 11 etc, etc. y siempre obtendría 1 en la tercera columna. Podría usar un ordenador muy potente y realizar los cálculos para número muy grandes: un millón, un millón uno, un millón dos... Siempre obtendría 1 en la tercera columna. Podría concluir que el máximo común divisor de n17+9 y (n+1)17+9 es siempre 1. Sin embargo esto es sólo cierto para números pequeños. Y en este caso pequeños quiere decir menores que n=8424432925592889329288197322308900672459420460792433 (y piensen en elevar este número a 17) que es el primer contraejemplo.
El segundo y último ejemplo tiene que ver con los números primos y con la función π. La función π(x) devuelve el número de primos menores o iguales que x. Recordemos que los primos son 1,2,3,5,7,11... así que π(1)=1, π(4)=3, π(11)=6. Esta función goza de gran prestigio en el campo de la teoría de números y se demuestra que cuando x es suficientemente grande (es decir, cuando x tiende a infinito) la función π se aproxima indefinidamente a la función logarítmica integral li(x) (la cual da igual cómo es). Si uno no está en el infinito encuentra que π(x)<li(x) y poco más o menos daba igual cómo de grande fuera x ya que siempre es así.
Sin embargo en 1914 John Littlewood demostró que antes de llegar a infinito la función π se hacía mayor que la función logaritmo integral un número infinito de veces. Es decir, antes de llegar a infinito la diferencia de ambas funciones se hacía positiva, negativa, positiva... y así infinitas veces. La demostración de Littlewood significaba que π(x)<li(x) sólo para números pequeños.
Un discípulo de Littlewood, Stanley Skewes, se preocupó por cómo de pequeños y llegó a demostrar que el primer número para el cual se cumplía π(x)>li(x) tenía que ser menor que 10 elevado a 10 elevado a 10 elevado a 34 (para que se hagan una idea de cómo de grande es 10 elevado a 10 elevado a 10 elevado a 34 no puedo darles una idea de cómo de grande es 10 elevado a 10 elevado a 10 elevado a 34). Y esto lo hizo admitiendo una hipótesis (llamada de Riemman) aún no demostrada. Sin la hipótesis su estimación se quedaba en 10 elevado a 10 elevado a 10 elevado a 10 elevado a 3. Que es un número increíblemente más grande que el primero.
Aún hoy no se ha encontrado ningún número que cumpla π(x)>li(x) pero sí se sabe que algún número pequeño menor que 10 elevado a 314 debe hacerlo.
(escrito por qtyop)
Después de dos días de prueba hoy seguimos aquí indefinidamente. Disculpen las molestias e inconvenientes.
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