Todos los cretenses son unos mentirosos.
Epiménides. Cretense.
Esta frase es mentira.
Creencia popular.
1. Terminología
- Sistema formal. Es el conjunto de reglas y manipulaciones de símbolos que permiten escribir, comprobar y demostrar enunciados matemáticos (v.gr., el sistema de la aritmética de Peano o la teoría de conjuntos). Una demostración escrita en un sistema formal es verificable por un ordenador, y no requiere, por tanto, ninguna inteligencia ni conocimiento previo de matemáticas.
- Sistema completo. Un sistema formal es completo si para toda formula F bien formulada se puede, bien demostrar F, bien demostrar la negación de F. En un sistema incompleto, existe al menos una fórmula indecidible, esto es: no se podrá demostrar si es cierta o falsa.
- Sistema consistente. Un sistema S es consistente (o no contradictorio) si con los axiomas propios de dicho sistema no se puede demostrar a la vez una fórmula F y su contraria.
- Verdadero. Corresponde a una noción intuitiva carente sentido matemático. Nadie ha logrado definir verdadero en matemáticas si dejamos de lado los trabajos de Alfred Tarski que, en los años 1930, pretendió haberlo conseguido mediante un evidente pleonasmo: “A es verdadero cuando A se verifica”. A pesar de lo cual, los términos 'verdad' y 'verdadero' aparecerán varias veces en esta entrada. Y si no, al tiempo.
- Demostrable (o 'probable', en el sentido de que se puede probar). Significa que se puede obtener, mediante el razonamiento pertinente, una demostración en un sistema formal.
- Decidible. Decidir una cuestión consiste en resolverla. Por ejemplo, para saber si un numero es primo disponemos de la criba de Eratóstenes: se divide el número por todos los inferiores, y se obtienen divisores o no, lo cual permite decidir respecto a la cuestión. Un problema indecidible es aquel para el que no existe, ni existirá nunca, un algoritmo (un procedimiento finito) de decisión.
- Teorema de incompletitud. Un sistema formal que permite demostrar los resultados elementales de la aritmética, v.gr. 1+1=2 (como el sistema de la aritmética de Peano o la teoría de conjuntos) no puede ser a la vez completo y no contradictorio: si es no contradictorio (consistente) en ese caso es incompleto dando lugar a fórmulas indecidibles. También: todo sistema axiomático formal presupone proposiciones indecidibles (o irresolubles), bien sea por la incompletitud del sistema, bien por contradicciones dentro del mismo.
2. Introducción (sólo la puntita) a los Principia Mathematica de Russell y Whitehead
Aunque para hacer una introducción seria habría que remontarse a Euclides -¿'ya en Roma'? ¡Y antes!-, y pasar por Peano, Cantor, Hilbert y un montón de nombres más, vamos a ahorrarnos el esfuerzo. Éranse una vez dos señores británicos, llamados Bertrand Russell y Alfred North Whitehead, que, no teniendo nada mejor que hacer, decidieron formular un sistema de razonamiento teórico-numérico sin las contradicciones que sí tenían otros sistemas anteriores. Buscaban, por supuesto, un sistema perteneciente a la lógica de primer orden, recursivo, que se pudiera escribir en lenguaje simbólico y con posibilidad de comprobación mecánico-matemática de las pruebas.
Después de algunos años dando la brasa a sus mujeres, amigos y conocidos, parieron algo enorme y hermoso llamado Principia Mathematica. Habla de teoría de conjuntos, varios tipos de números y poco más, pero sentó las bases para llevar a cabo trabajos semejantes sobre análisis real, geometría y otras muchas paridas matemáticas sobre las que mejor le preguntan a Qtyop o a otro que sepa.
Para lo que nos afecta en esta entrada, digamos que los Principios establecen una serie de reglas de juego para formular aseveraciones matemáticas y comprobar si esas verdades son verdades o cuentos chinos: si se le ocurre a Vd. decir, por ejemplo, que 'si el conjunto A incluye al conjunto B, entonces el conjunto B incluye al conjunto A', siempre podrá llegar un listillo, meter su proposición en la batidora de los Principia y descojonarse de Vd. hasta el fin de sus días. Más o menos.
3.Introducción a Gödel
El procedimiento seguido por Kurt Gödel para enunciar su teorema de la Incompletitud (todo el mundo lo escribe con mayúsculas; me imagino que da más miedo todavía) puede resumirse en tres pasos:
-Supone, en primer lugar, trabajar sobre una proposición, o afirmación, que podemos llamar G.
G dice: "G, que forma parte de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead, no tiene ninguna demostración en esos mismos Principia Mathematica".
(Efectivamente, sagaz lector, lo ha visto a la primera: G hace referencia a sí misma.)
-En segundo lugar, Gödel demuestra -mediante las reglas de inferencia establecidas en los Principia- que G es lo que las personas sencillas llamamos verdad. O sea, demuestra, por un lado, que G forma parte de los P.M. y, por otra, que dentro de los P.M. no tiene demostración.
Esto parece rrraro, rrraro, lo sé. Pero para formar parte de los Principia, pueden creerme, no hace falta mucho; basta con que la formulación de G se haya hecho de acuerdo a las reglas 'gramaticales' de la matemática descrita y delimitada por esos mismos Principia. Así que para demostrar la verdad de G es suficiente (y necesario) con que G esté 'bien construida'. Para comprobar la ‘buena construcción’ de G, Gödel utilizó un ingenioso sistema de numeración y correspondencias, llamado genéricamente aritmetización y, en este caso concreto, gödelización. Mediante tal procedimiento asigna a cada símbolo y a cada fórmula de los P.M. un número natural, de forma que en lugar de operar con proposiciones complejas se hace con números; así se consigue que las proposiciones formales trabajen en dos niveles: como proposiciones de teoría de los números y como proposiciones-sobre-otras-proposiciones de teoría de los números. Ese salto ‘fuera del sistema’ es el que permite la demostración de una proposición que era indemostrable ‘desde dentro’. Si la operación con tales números asignados (llamados, qué original, ‘números de Gödel’) es correcta, y las correspondencias establecidas también lo son, se puede operar con números naturales, llegar a un resultado y reconvertir los símbolos del resultado (números naturales) en fórmulas de los Principia. (En el fondo, eso es lo que hacemos al sumar: a este montón de plátanos lo llamo ‘dos’; a este otro montón lo llamo ‘cinco’. Si sumo ‘dos’ y ‘cinco’ hago lo mismo que si junto los montones. No puedo llegar en un caso a una conclusión correcta y en el otro no, ya que la codificación de la cantidad de plátanos en símbolos -‘dos’ y ‘cinco’- es correcta y siempre la misma.)
-En tercer lugar, demuestra a su vez que cualquier formulación axiomática y sistemática de teoría de los números (lo que incluye toda lógica de predicados -y toda sintaxis formal) es, a efectos de admitir y probar (o no poder probarse) G, equivalente a los Principia. No hay sistema alguno que no incluya una proposición G, que sea indemostrable y verdad al mismo tiempo. No existe un sistema axiomático formal que sea consistente, completo y decidible.
Esta última parte suele llamarse 'Segundo teorema de Incompletitud'. Y es el que más jode.
4. Consecuencias
Si algún contemporáneo de Gödel -o, ay, alguno de Vds., almas de cántaro- esperó, tras la lectura y asimilación de su teorema, que el tranvía llegase puntual, desde luego se encontró con una severa desilusión. Tampoco se terminó el hambre en el mundo, ni los culos de hombres y mujeres, así, en general, cobraron repentinamente un tamaño llamativo o un esplendor renacentista. Sin embargo, el hostiazo académico fue de tal magnitud, créanme, que todavía hoy hay alguno cagando premolares.
Esa demolición inmisericorde incluye, obviamente, el 'programa de Hilbert' de sistematización de las matemáticas, el intento de Russell y Whitehead como primera aunque incompleta concreción de ese programa y por supuesto el Tractatus Logico-Philosophicus de L. Wittgenstein. ¿Por qué? Por que la intención del TLP era idéntica a la de cualquier otra formalización lógica proveniente de la matemática pura. En palabras de Russell: 'Para comprender el libro de Wittgenstein es preciso comprender el problema con el que se enfrenta. En la parte de su teoría que se refiere al simbolismo se ocupa de las condiciones que se requieren para conseguir un lenguaje lógicamente perfecto. (...) Un lenguaje lógicamente perfecto tiene reglas de sintaxis que evitan los sinsentidos y tiene símbolos particulares con un significado determinado y único.' (B. Russell, en su introducción al TLP. Las negritas son mías). Un blanco perfecto para la demostración gödeliana.
Además, hay una serie de efectos secundarios (o daños colaterales) que, desde el sofá, resultan divertidos. Como era de esperar, quienes tenían el suficiente conocimiento matemático como para comprender la perfección del razonamiento de Gödel -esto es, Hilbert, Russell o Sheffer- aceptaron con científica deportividad el terremoto: lo anterior no vale, ahora tenemos 'esto', trabajemos desde aquí (de hecho, a la mayor parte de los matemáticos del planeta el gödelazo les afecta tanto como a Calaza puede molestarle el gato de Schrödinger). En cambio, otros, quizá menos avezados en el proceloso mundo de los números, no se lo tomaron igual. Y no señalo a nadie.
El teorema de Incompletitud gödeliano también ha sido utilizado muchas veces como piedra (arrojadiza) de toque (antropocéntrico) contra la posibilidad de mecanización del pensamiento. Filósofos como John Lucas (Minds, machines and Gödel, 1959) lo argumentan así: ’Por complicada que sea la máquina que construyamos, se corresponderá (...) con un sistema formal (...) expuesto al procedimiento de Gödel (...).Gracias al teorema de Gödel, la mente tiene la última palabra.’
Esa supuesta superioridad ‘mística’ del pensamiento cerebral sobre el mecanizado se rebate con facilidad, simplemente dándonos cuenta de que el pensamiento cerebral también está limitado por el teorema de Gödel... aunque, ahora que me acuerdo, esto ya se discutió aquí, mmm... allá por el verano de 2007.
Después de haber llegado hasta aquí, Vd. puede preguntarse: 'y este Mercutio de los cojones, ¿cómo me ha liado tanto para no demostrar nada? Para empezar, no me creo la verdad de G. ¿Qué passsa?'. En ese caso, sólo puedo decirle que la robustez matemática del teorema de Gödel es absoluta, y que es una parte de la matemática de idéntico valor (valor de verdad) a la del teorema de Pitágoras, por ejemplo. Si desea comprobarlo por su cuenta tendrá que estudiar más que yo.
Bibliografía
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Añadido: Aquí tienen una explicación algo más técnica (NO es el teorema en sí), pero que resulta bastante asequible con un nivel matemático de bachiller:
Epiménides. Cretense.
Esta frase es mentira.
Creencia popular.
1. Terminología
- Sistema formal. Es el conjunto de reglas y manipulaciones de símbolos que permiten escribir, comprobar y demostrar enunciados matemáticos (v.gr., el sistema de la aritmética de Peano o la teoría de conjuntos). Una demostración escrita en un sistema formal es verificable por un ordenador, y no requiere, por tanto, ninguna inteligencia ni conocimiento previo de matemáticas.
- Sistema completo. Un sistema formal es completo si para toda formula F bien formulada se puede, bien demostrar F, bien demostrar la negación de F. En un sistema incompleto, existe al menos una fórmula indecidible, esto es: no se podrá demostrar si es cierta o falsa.
- Sistema consistente. Un sistema S es consistente (o no contradictorio) si con los axiomas propios de dicho sistema no se puede demostrar a la vez una fórmula F y su contraria.
- Verdadero. Corresponde a una noción intuitiva carente sentido matemático. Nadie ha logrado definir verdadero en matemáticas si dejamos de lado los trabajos de Alfred Tarski que, en los años 1930, pretendió haberlo conseguido mediante un evidente pleonasmo: “A es verdadero cuando A se verifica”. A pesar de lo cual, los términos 'verdad' y 'verdadero' aparecerán varias veces en esta entrada. Y si no, al tiempo.
- Demostrable (o 'probable', en el sentido de que se puede probar). Significa que se puede obtener, mediante el razonamiento pertinente, una demostración en un sistema formal.
- Decidible. Decidir una cuestión consiste en resolverla. Por ejemplo, para saber si un numero es primo disponemos de la criba de Eratóstenes: se divide el número por todos los inferiores, y se obtienen divisores o no, lo cual permite decidir respecto a la cuestión. Un problema indecidible es aquel para el que no existe, ni existirá nunca, un algoritmo (un procedimiento finito) de decisión.
- Teorema de incompletitud. Un sistema formal que permite demostrar los resultados elementales de la aritmética, v.gr. 1+1=2 (como el sistema de la aritmética de Peano o la teoría de conjuntos) no puede ser a la vez completo y no contradictorio: si es no contradictorio (consistente) en ese caso es incompleto dando lugar a fórmulas indecidibles. También: todo sistema axiomático formal presupone proposiciones indecidibles (o irresolubles), bien sea por la incompletitud del sistema, bien por contradicciones dentro del mismo.
2. Introducción (sólo la puntita) a los Principia Mathematica de Russell y Whitehead
Aunque para hacer una introducción seria habría que remontarse a Euclides -¿'ya en Roma'? ¡Y antes!-, y pasar por Peano, Cantor, Hilbert y un montón de nombres más, vamos a ahorrarnos el esfuerzo. Éranse una vez dos señores británicos, llamados Bertrand Russell y Alfred North Whitehead, que, no teniendo nada mejor que hacer, decidieron formular un sistema de razonamiento teórico-numérico sin las contradicciones que sí tenían otros sistemas anteriores. Buscaban, por supuesto, un sistema perteneciente a la lógica de primer orden, recursivo, que se pudiera escribir en lenguaje simbólico y con posibilidad de comprobación mecánico-matemática de las pruebas.
Después de algunos años dando la brasa a sus mujeres, amigos y conocidos, parieron algo enorme y hermoso llamado Principia Mathematica. Habla de teoría de conjuntos, varios tipos de números y poco más, pero sentó las bases para llevar a cabo trabajos semejantes sobre análisis real, geometría y otras muchas paridas matemáticas sobre las que mejor le preguntan a Qtyop o a otro que sepa.
Para lo que nos afecta en esta entrada, digamos que los Principios establecen una serie de reglas de juego para formular aseveraciones matemáticas y comprobar si esas verdades son verdades o cuentos chinos: si se le ocurre a Vd. decir, por ejemplo, que 'si el conjunto A incluye al conjunto B, entonces el conjunto B incluye al conjunto A', siempre podrá llegar un listillo, meter su proposición en la batidora de los Principia y descojonarse de Vd. hasta el fin de sus días. Más o menos.
3.Introducción a Gödel
El procedimiento seguido por Kurt Gödel para enunciar su teorema de la Incompletitud (todo el mundo lo escribe con mayúsculas; me imagino que da más miedo todavía) puede resumirse en tres pasos:
-Supone, en primer lugar, trabajar sobre una proposición, o afirmación, que podemos llamar G.
G dice: "G, que forma parte de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead, no tiene ninguna demostración en esos mismos Principia Mathematica".
(Efectivamente, sagaz lector, lo ha visto a la primera: G hace referencia a sí misma.)
-En segundo lugar, Gödel demuestra -mediante las reglas de inferencia establecidas en los Principia- que G es lo que las personas sencillas llamamos verdad. O sea, demuestra, por un lado, que G forma parte de los P.M. y, por otra, que dentro de los P.M. no tiene demostración.
Esto parece rrraro, rrraro, lo sé. Pero para formar parte de los Principia, pueden creerme, no hace falta mucho; basta con que la formulación de G se haya hecho de acuerdo a las reglas 'gramaticales' de la matemática descrita y delimitada por esos mismos Principia. Así que para demostrar la verdad de G es suficiente (y necesario) con que G esté 'bien construida'. Para comprobar la ‘buena construcción’ de G, Gödel utilizó un ingenioso sistema de numeración y correspondencias, llamado genéricamente aritmetización y, en este caso concreto, gödelización. Mediante tal procedimiento asigna a cada símbolo y a cada fórmula de los P.M. un número natural, de forma que en lugar de operar con proposiciones complejas se hace con números; así se consigue que las proposiciones formales trabajen en dos niveles: como proposiciones de teoría de los números y como proposiciones-sobre-otras-proposiciones de teoría de los números. Ese salto ‘fuera del sistema’ es el que permite la demostración de una proposición que era indemostrable ‘desde dentro’. Si la operación con tales números asignados (llamados, qué original, ‘números de Gödel’) es correcta, y las correspondencias establecidas también lo son, se puede operar con números naturales, llegar a un resultado y reconvertir los símbolos del resultado (números naturales) en fórmulas de los Principia. (En el fondo, eso es lo que hacemos al sumar: a este montón de plátanos lo llamo ‘dos’; a este otro montón lo llamo ‘cinco’. Si sumo ‘dos’ y ‘cinco’ hago lo mismo que si junto los montones. No puedo llegar en un caso a una conclusión correcta y en el otro no, ya que la codificación de la cantidad de plátanos en símbolos -‘dos’ y ‘cinco’- es correcta y siempre la misma.)
-En tercer lugar, demuestra a su vez que cualquier formulación axiomática y sistemática de teoría de los números (lo que incluye toda lógica de predicados -y toda sintaxis formal) es, a efectos de admitir y probar (o no poder probarse) G, equivalente a los Principia. No hay sistema alguno que no incluya una proposición G, que sea indemostrable y verdad al mismo tiempo. No existe un sistema axiomático formal que sea consistente, completo y decidible.
Esta última parte suele llamarse 'Segundo teorema de Incompletitud'. Y es el que más jode.
4. Consecuencias
Si algún contemporáneo de Gödel -o, ay, alguno de Vds., almas de cántaro- esperó, tras la lectura y asimilación de su teorema, que el tranvía llegase puntual, desde luego se encontró con una severa desilusión. Tampoco se terminó el hambre en el mundo, ni los culos de hombres y mujeres, así, en general, cobraron repentinamente un tamaño llamativo o un esplendor renacentista. Sin embargo, el hostiazo académico fue de tal magnitud, créanme, que todavía hoy hay alguno cagando premolares.
Esa demolición inmisericorde incluye, obviamente, el 'programa de Hilbert' de sistematización de las matemáticas, el intento de Russell y Whitehead como primera aunque incompleta concreción de ese programa y por supuesto el Tractatus Logico-Philosophicus de L. Wittgenstein. ¿Por qué? Por que la intención del TLP era idéntica a la de cualquier otra formalización lógica proveniente de la matemática pura. En palabras de Russell: 'Para comprender el libro de Wittgenstein es preciso comprender el problema con el que se enfrenta. En la parte de su teoría que se refiere al simbolismo se ocupa de las condiciones que se requieren para conseguir un lenguaje lógicamente perfecto. (...) Un lenguaje lógicamente perfecto tiene reglas de sintaxis que evitan los sinsentidos y tiene símbolos particulares con un significado determinado y único.' (B. Russell, en su introducción al TLP. Las negritas son mías). Un blanco perfecto para la demostración gödeliana.
Además, hay una serie de efectos secundarios (o daños colaterales) que, desde el sofá, resultan divertidos. Como era de esperar, quienes tenían el suficiente conocimiento matemático como para comprender la perfección del razonamiento de Gödel -esto es, Hilbert, Russell o Sheffer- aceptaron con científica deportividad el terremoto: lo anterior no vale, ahora tenemos 'esto', trabajemos desde aquí (de hecho, a la mayor parte de los matemáticos del planeta el gödelazo les afecta tanto como a Calaza puede molestarle el gato de Schrödinger). En cambio, otros, quizá menos avezados en el proceloso mundo de los números, no se lo tomaron igual. Y no señalo a nadie.
El teorema de Incompletitud gödeliano también ha sido utilizado muchas veces como piedra (arrojadiza) de toque (antropocéntrico) contra la posibilidad de mecanización del pensamiento. Filósofos como John Lucas (Minds, machines and Gödel, 1959) lo argumentan así: ’Por complicada que sea la máquina que construyamos, se corresponderá (...) con un sistema formal (...) expuesto al procedimiento de Gödel (...).Gracias al teorema de Gödel, la mente tiene la última palabra.’
Esa supuesta superioridad ‘mística’ del pensamiento cerebral sobre el mecanizado se rebate con facilidad, simplemente dándonos cuenta de que el pensamiento cerebral también está limitado por el teorema de Gödel... aunque, ahora que me acuerdo, esto ya se discutió aquí, mmm... allá por el verano de 2007.
Después de haber llegado hasta aquí, Vd. puede preguntarse: 'y este Mercutio de los cojones, ¿cómo me ha liado tanto para no demostrar nada? Para empezar, no me creo la verdad de G. ¿Qué passsa?'. En ese caso, sólo puedo decirle que la robustez matemática del teorema de Gödel es absoluta, y que es una parte de la matemática de idéntico valor (valor de verdad) a la del teorema de Pitágoras, por ejemplo. Si desea comprobarlo por su cuenta tendrá que estudiar más que yo.
Bibliografía
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Añadido: Aquí tienen una explicación algo más técnica (NO es el teorema en sí), pero que resulta bastante asequible con un nivel matemático de bachiller:
(Escrito por Mercutio)
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